問題詳情:
下面四個圖象中,有一個是函數f(x)=x3+ax2+(a2﹣1)x+1(a∈R)的導函數y=f′(x)的圖象,則f(﹣1)=( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【回答】
A【考點】導數的運算.
【專題】數形結合;分類法;導數的綜合應用.
【分析】由f(x)解析式求出導函數f′(x)解析式,分析得到導函數圖象可能爲①或③,根據函數圖象分別求出a的值,確定出f(x)解析式,即可求出f(﹣1)的值.
【解答】解:由f(x)=x3+ax2+(a2﹣1)x+1,得到f′(x)=x2+2ax+a2﹣1,
可得導函數圖象可能爲①,即對稱軸爲y軸,﹣a=0,
解得:a=0,此時f(x)=x3﹣x+1,即f(﹣1)=﹣+2=;
可得導函數圖象可能爲③,即f′(0)=0,
∴a2﹣1=0,即a=1或﹣1,
當a=1時,f′(x)=x2+2x,不合題意;
當a=﹣1時,f(x)=x3﹣x2+1,符合題意,此時f(﹣1)=﹣﹣1+1=﹣,
綜上,f(﹣1)=或﹣,
故選:A.
【點評】此題考查了導數的運算,二次函數的圖象與*質,熟練掌握導數的運算是解本題的關鍵.
知識點:導數及其應用
題型:選擇題