已知R上的可導函數f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集爲（　　）A．（﹣∞，...

問題詳情：

已知R上的可導函數f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集爲（　　）

A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）

C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）

【回答】

C【考點】6B：利用導數研究函數的單調*；3O：函數的圖象．

【分析】結合已知中可導函數f（x）的圖象，分析不同區間上（x2﹣2x﹣3）和f′（x）的符號，進而可得*．

【解答】解：由已知中函數f（x）的圖象可得：

當x＜﹣1時，函數爲增函數，此時f′（x）＞0，x2﹣2x﹣3＞0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0；

當﹣1＜x＜1時，函數爲減函數，此時f′（x）＜0，x2﹣2x﹣3＜0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0；

當x＞1時，函數爲增函數，此時f′（x）＞0；

當1＜x＜3時，x2﹣2x﹣3＜0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＜0，

當x＞3時，x2﹣2x﹣3＞0，（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0；

綜上可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集爲（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），

故選：C

知識點：不等式

題型：選擇題