問題詳情:
已知一個動圓與已知圓Q1:(x+2)2+y2=外切,與圓Q2:(x-2)2+y2=內切,(1) 試求這個動圓圓心的軌跡方程;(2)設直線與(1)中動圓圓心軌跡交於A、B兩點,座標原點O到直線的距離爲,求△AOB面積的最大值。
【回答】
解:(1)設橢圓的半焦距爲c,依題意有
所以c=,b=1.所以所求橢圓方程爲+y2=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).
①當AB⊥x軸時,|AB|=.
②當AB與x軸不垂直時,設直線AB的方程爲y=kx+m.
由已知=,得m2=(k2+1).
把y=kx+m代入橢圓方程,
整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
所以|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=
(1+k2)=
==
3+=3+(k≠0)≤3+=4.
當且僅當9k2=,即k=±時等號成立.
此時Δ=12(3k2+1-m2)>0,
當k=0或不存在時,|AB|=,綜上所述,|AB|max=2.
所以當|AB|最大時,△AOB面積取得最大值
S=×|AB|max×=.
知識點:圓與方程
題型:解答題