問題詳情:
已知函數f(x)=x2+bx2+cx+1在區間(-∞,-2]上單調遞增,在區間[-2,2]上單調遞減,且b≥0.
(1)求f(x)的表達式;
(2)設0<m≤2,若對任意的x′、x″∈[m-2,m],不等式|f(x′)-f(x″)|≤16m恆成立,求實數m的最小值.
【回答】
解:(1)f(x)=x3+bx2+cx+1,f′(x)=3x2+2bx+c.
∵f(x)在區間(-∞,-2]上單調遞增,在區間[-2,2]上單調遞減,
∴方程f′(x)=3x2+2bx+c=0有兩個不等實根xx2,且x1=-2,x2≥2,
∵x1+x2=,x1x2=,
∴x2=+2,∴+2≥2,
∴b≤0.∵已知b≥0,∴b=0,
∴x2=2,c=-12,∴f(x)=x3-12x+1.
(2)對任意的x′、x″∈[m-2,m],不等式|f(x′)-f(x″)|≤16m恆成立,等價於在區間[m-2,m]上,[f(x)]max-[f(x)]min≤16m.
f(x)=x3-12x+1,f′(x)=3x2-12.
由f′(x)=3x2-12<0,解得-2<x<2.
∴f(x)的減區間爲[-2,2]
∵0<m≤2,∴[m-2,m][-2,2].∴f(x)在區間[m-2,m]上單調遞減,
在區間[m-2,m]上,[f(x)]max=f(m-2)=(m-2)3-12(m-2)+1,
[f(x)]min=f(m)=m3-12m+1,
[f(x)]max-[f(x)]min=[(m-2)3-12(m-2)+1]-(m3-12m+1)=-6m2+12m+16,
∵[f(x)]max-[f(x)]min≤16m,
∴-6m2+12m+16≤16m,3m2+2m-8≥0,
解得m≤-2,或m≥.
∵0<m≤2,∴mmin=.
知識點:導數及其應用
題型:解答題