問題詳情:
材料一:一個正整數x能寫成x=a2﹣b2(a,b均爲正整數,且a≠b),則稱x爲“雪松數”,a,b爲x的一個平方差分解,在x的所有平方差分解中,若a2+b2最大,則稱a,b爲x的最佳平方差分解,此時F(x)=a2+b2.
例如:24=72﹣52,24爲雪松數,7和5爲24的一個平方差分解,32=92﹣72,32=62﹣22,因爲92+72>62+22,所以9和7爲32的最佳平方差分解,F(32)=92+72
材料二:若一個四位正整數,它的千位數字與個位數字相同,百位數字與十位數字相同,但四個數字不全相同,則稱這個四位數爲“南麓數”.例如4334,5665均爲“南麓數”.
根據材料回答:
(1)請直接寫出兩個雪松數,並分別寫出它們的一對平方差分解;
(2)試*10不是雪松數;
(3)若一個數t既是“雪松數”又是“南麓數”,並且另一個“南麓數”的前兩位數字組成的兩位數與後兩位數字組成的兩位數恰好是t的一個平方差分解,請求出所有滿足條件的數t中F(t)的最大值.
【回答】
(1)112=112﹣32,40=72﹣32;(2)見解析;(3)12020.
【分析】
(1)根據雪松數的特徵即可得到結論;
(2)根據題意即可得到結論;
(3)設t=(a,b均爲正整數,且0<a≠b≤9),另一個“南麓數”爲t′=(m,n均爲正整數,且0<n<m≤9),根據“南麓數”的特徵即可得到結論.
【詳解】
解:(1)112=112﹣32,40=72﹣32;
(2)若10是“雪松數”,
則可設a2﹣b2=10(a,b均爲正整數,且a≠b),則(a+b)(a﹣b)=10.
又∵10=2×5=10×1.
∵a,b均爲正整數,
∴a+b>a﹣b,
∴,或,
解得:或,
與a,b均爲正整數矛盾,故10不是雪松數;
(3)設t=(a,b均爲正整數,且0<a≠b≤9),
另一個“南麓數”爲t′=(m,n均爲正整數,
且0<n<m≤9),則t=(10m+n)2﹣(10n+m)2=99(m2﹣n2)=99(m+n)(m﹣n),
∴99(m+n)(m﹣n)=1000a+100b+10b+a=1001a+110b,
整理得,(m+n)(m﹣n)=10a+b+.
∵a,b,m,n均爲正整數,
∴a+b=9,
經探究,符合題意,
∴t的值分別爲:2772,5445,t′的值分別爲:8668,8338,
由材料一可知,F(t)的最大值爲:862+682=12020.
【點睛】
本題主要考查分解因式的應用,實數的運算,理解新定義,並將其轉化爲實數的運算是解題的關鍵.
知識點:因式分解
題型:解答題