問題詳情：
已知直線l：y＝x＋，圓O：x2＋y2＝5，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求*：兩切線斜率之積爲定值．
【回答】
解 (1)設橢圓半焦距爲c，
圓心O到l的距離d＝＝，
所以b＝＝.
由題意得又b＝，∴a2＝3，b2＝2.
∴橢圓E的方程爲＋＝1.
(2)*：設點P(x0，y0)，過點P的橢圓E的切線l0的方程爲y－y0＝k(x－x0)，
聯立直線l0與橢圓E的方程得
把y＝kx＋(y0－kx0)代入＋＝1，消去y得
(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∵l0與橢圓E相切．
∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0，
設滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別爲k1，k2，則k1·k2＝－
∵點P在圓O上，∴x＋y＝5，
∴k1·k2＝－＝－1.
∴兩條切線斜率之積爲常數－1.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
