問題詳情:
如圖,爲圓錐的頂點,是圓錐底面的圓心,是底面的內接正三角形,爲上一點,∠APC=90°.
(1)*:平面PAB⊥平面PAC;
(2)設DO=,圓錐的側面積爲,求三棱錐P−ABC的體積.
【回答】
(1)*見解析;(2).
【分析】
(1)根據已知可得,進而有≌,可得
,即,從而*得平面,即可*得結論;
(2)將已知條件轉化爲母線和底面半徑的關係,進而求出底面半徑,由正弦定理,求出正三角形邊長,在等腰直角三角形中求出,在中,求出,即可求出結論.
【詳解】
(1)連接,爲圓錐頂點,爲底面圓心,平面,
在上,,
是圓內接正三角形,,≌,
,即,
平面平面,平面平面;
(2)設圓錐的母線爲,底面半徑爲,圓錐的側面積爲,
,解得,,
在等腰直角三角形中,,
在中,,
三棱錐的體積爲.
【點睛】
本題考查空間線、面位置關係,*平面與平面垂直,求錐體的體積,注意空間垂直間的相互轉化,考查邏輯推理、直觀想象、數學計算能力,屬於中檔題.
知識點:空間幾何體
題型:解答題