問題詳情:
如圖所示的某種容器的體積爲90cm3,它是由圓錐和圓柱兩部分連接而成,圓柱與圓錐的底面半徑都爲r cm.圓錐的高爲h1 cm,母線與底面所成的角爲;圓柱的高爲
h2 cm.已知圓柱底面的造價爲2a元/cm2,圓柱側面造價爲a元/cm2,圓錐側面造價爲a元/cm2.
(1)將圓柱的高h2表示爲底面半徑r的函數,並求出定義域;
(2)當容器造價最低時,圓柱的底面半徑r爲多少?
【回答】
(1)解:因爲圓錐的母線與底面所成的角爲,所以,
圓錐的體積爲,圓柱的體積爲. …… 2分
因爲,所以,
所以. …… 4分
因爲,所以.因此.
所以,定義域爲. …… 6分
(2)圓錐的側面積,
圓柱的側面積,底面積. …… 8分
容器總造價爲
. …… 10分
令,則.令,得.
當時,,在上爲單調減函數;
當時,,在上爲單調增函數.
因此,當且僅當時,有最小值,y有最小值90元.…… 13分
所以,總造價最低時,圓柱底面的半徑爲3cm. …… 14分
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題