V已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常數，a∈R．（Ⅰ）當a=1時，研究f（...

問題詳情：

V已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常數，a∈R．

（Ⅰ）當a=1時，研究f（x）的單調*與極值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求*：f（x）＞g（x）+；

（Ⅲ）是否存在實數a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

【回答】

【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值．

【分析】（Ⅰ）求導函數，確定函數的單調*，從而可得函數f（x）的極小值；

（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值爲1，令h（x）=g（x））+，求導函數，確定函數的單調*與最大值，即可*得結論；

（Ⅲ）假設存在實數a，使f（x）的最小值是3，求導函數，分類討論，確定函數的單調*，利用f（x）的最小值是3，即可求解．

【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）= …

∴當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減

當1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增   …

∴f（x）的極小值爲f（1）=1                   …

（Ⅱ）*：∵f（x）的極小值爲1，即f（x）在（0，e]上的最小值爲1，

∴f（x）＞0，f（x）min=1…

令h（x）=g（x））+=+，，…

當0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調遞增  …

∴h（x）max=h（e）=＜=1=|f（x）|min     …

∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+；…

（Ⅲ）解：假設存在實數a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=

①當a≤0時，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（捨去），所以，此時f（x）無最小值．…

②當0＜＜e時，f（x）在（0，）上單調遞減，在（，e]上單調遞增，f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，滿足條件．…

③當時，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（捨去），

所以，此時f（x）無最小值．…

綜上，存在實數a=e2，使f（x）的最小值是3．…

知識點：導數及其應用

題型：解答題