問題詳情：
如圖，在邊長爲4的正方形ABCD中，動點E以每秒1個單位長度的速度從點A開始沿邊AB向點B運動，動點F以每秒2個單位長度的速度從點B開始沿折線BC﹣CD向點D運動，動點E比動點F先出發1秒，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設點F的運動時間爲t秒．
（1）點F在邊BC上．
①如圖1，連接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；
②如圖2，連結EF，DF，當t爲何值時，△EBF與△DCF相似？
（2）如圖3，若點G是邊AD的中點，BG，EF相交於點O，試探究：是否存在在某一時刻t，使得
？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【回答】
(1) ①t=1；②
．（2）
，
.
【解析】
試題分析：（1）①利用正方形的*質及條件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式計算．
②利用△EBF∽△DCF，得出
，列出方程求解．
（2）①0＜t≤2時如圖3，以點B爲原點BC爲x軸，BA爲y軸建立座標系，先求出EF所在的直線和BG所在的直線函數關係式是，再利用勾股定理求出BG，運用
，求出點O的座標把O的座標代入EF所在的直線函數關係式求解．②當t＞2時如圖4，以點B爲原點BC爲x軸，BA爲y軸建立座標系，以點B爲原點BC爲x軸，BA爲y軸建立座標系，先求出EF所在的直線和BG所在的直線函數關係式是，再利用勾股定理求出BG，運用
，求出點O的座標把O的座標代入EF所在的直線函數關係式求解．
試題解析：（1）①如圖1
∵DE⊥AF，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAF+∠AEO=90°，
∵∠ADE+∠AEO=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（ASA）
∴AE=BF，
∴1+t=2t，
解得t=1．
②如圖2
∵△EBF∽△DCF
∴
，
∵BF=2t，AE=1+t，
∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，
∴
，
解得：
，
（捨去），
故
．
（2）①0＜t≤2時如圖3，以點B爲原點BC爲x軸，BA爲y軸建立座標系，
A的座標（0，4），G的座標（2，4），F點的座標（2t，0），E的座標（0，3﹣t）
EF所在的直線函數關係式是：y=
x+3﹣t，
BG所在的直線函數關係式是：y=2x，
∵
∵
，
∴BO=
，OG=
，
設O的座標爲（a，b），
解得
∴O的座標爲（
，
）
把O的座標爲（
，
）代入y=
x+3﹣t，得
=
×
+3﹣t，
解得，t=
（捨去），t=
，
②當3≥t＞2時如圖4，以點B爲原點BC爲x軸，BA爲y軸建立座標系，
A的座標（0，4），G的座標（2，4），F點的座標（4，2t﹣4），E的座標（0，3﹣t）
EF所在的直線函數關係式是：y=
x+3﹣t，
BG所在的直線函數關係式是：y=2x，
∵
BG=
=2
∵
，
∴BO=
，OG=
，
設O的座標爲（a，b），
解得
∴O的座標爲（
，
）
把O的座標爲（
，
）代入y=
x+3﹣t，得
=
×
+3﹣t，
解得：t=
．
綜上所述，存在t=
或t=
，使得
．
【考點】四邊形綜合題．
知識點：三角形全等的判定
題型：解答題
