問題詳情：
如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2釐米/秒的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1釐米/秒的速度移動，如果P、Q同時出發，用t秒錶示移動的時間（0≤t≤6）．
（1）當t爲何值時，△QAP爲等腰三角形？
（2）設△QCP的面積爲S，求S與t之間的函數關係式；
（3）當t爲何值時，以點Q、A、P爲頂點的三角形與△PBC相似．
【回答】
解：（1）當△QAP爲等腰三角形時，由於∠A爲直角，只能是AQ=AP，
又∵AQ=6﹣t，AP=2t，
∴2t=6﹣t，
∴t=2．即當t=2時，△QAP爲等腰三角形；
（2）依題意，得S=S矩形ABCD﹣S△QDC﹣S△QAP﹣S△PBC
整理，得S=t2﹣6t+36．
*，得S=（t﹣3）2+27．
∴S與t之間的函數關係式爲S=t2﹣6t+36；
（3）AB=12，BC=6，
vP=2，vQ=1，
AP=vPt=2t
DQ=vQt=t
AQ=DA﹣DQ=6﹣t
BP=AB﹣AP=12﹣2t=2（6﹣t）
當△QAP∽△PBC時：
QA：PB=AP：BC
（6﹣t）：（12﹣2t）=2t：6
t=1.5
當△PAQ∽△PBC時：
PA：PB=AD：BC
2t：（12﹣2t）=（6﹣t）：6
（6﹣t）2=6t
t2﹣18t+36=0
（t﹣9）2=45
t=9±3
t=9+
＞6，捨去
∴t=9﹣3
綜上：t=1.5，或t=9﹣3．
知識點：相似三角形
題型：解答題
