問題詳情:
在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,點P從點A出發,沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動,同時點Q從點B出發沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動,P、Q兩點在分別到達B、C兩點時就停止移動,設兩點移動的時間爲t秒,解答下列問題:
(1)如圖1,當t爲幾秒時,△PBQ的面積等於4cm2?
(2)如圖2,以Q爲圓心,PQ爲半徑作⊙Q.在運動過程中,是否存在這樣的t值,使⊙Q正好與四邊形DPQC的一邊(或邊所在的直線)相切?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)t=1秒或4秒;(2)t=0秒或(﹣15+)秒.
【分析】
(1)由題意可知PA=t,BQ=2t,從而得到PB=5﹣t,BQ=2t,然後根據△PQB的面積=4cm2列方程求解即可;
(2)當t=0時,點P與點A重合時,點B與點Q重合,此時圓Q與PD相切;當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時,由圓的*質可知QC=QP,然後依據勾股定理列方程求解即可;
【詳解】
解:(1)∵當運動時間爲t秒時,PA=t,BQ=2t,
∴PB=5﹣t,BQ=2t.
∵△PBQ的面積等於4cm2,
∴PB•BQ=(5﹣t)•2t.
∴(5﹣t)•2t=4.
解得:t1=1,t2=4.
答:當t爲1秒或4秒時,△PBQ的面積等於4cm2;
(2)由題意可知圓Q與PQ、CQ不相切.下面分兩種情況討論:
(Ⅰ)如圖1所示:當t=0時,點P與點A重合時,點B與點Q重合.
∵∠DAB=90°,
∴∠DPQ=90°.
∴DP⊥PQ.
∴DP爲圓Q的切線.
(Ⅱ)當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時,如圖2所示.
由題意可知:PB=5﹣t,BQ=2t,PQ=CQ=10﹣2t.
在Rt△PQB中,由勾股定理可知:PQ2=PB2+QB2,即(5﹣t)2+(2t)2=(10﹣2t)2.
解得:t1=﹣15+,t2=﹣15﹣(捨去).
綜上所述可知當t=0秒或t=(﹣15+)秒時,⊙Q與四邊形DPQC的一邊相切.
【點睛】
本題主要考查的是切線的判定和*質,矩形的*質,勾股定理,根據題意畫出圖形是解題的關鍵.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題