問題詳情：
如圖，已知在矩形ABCD中，AD=10，CD=5，點E從點D出發，沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動，同時點F從點C出發，沿*線CD方向以每秒2個單位長的速度移動，當B、E、F三點共線時，兩點同時停止運動，此時BF⊥CE．設點E移動的時間爲t（秒）．
（1）求當t爲何值時，兩點同時停止運動；
（2）求當t爲何值時，EC是∠BED的平分線；
（3）設四邊形BCFE的面積爲S，求S與t之間的函數關係式，並寫出t的取值範圍；
（4）求當t爲何值時，△EFC是等腰三角形．（直接寫出*）
【回答】
【考點】四邊形綜合題．
【分析】（1）B，E，F三點共線時，滿足△FED∽△FBC，結合行程問題可以得出關於t的比例式，求出t的值；
（2）∠BEC=∠BFC．可以轉化爲∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出關於t的方程，求出值；
（3）求S與t之間的函數關係式，可以將四邊形BCFE的面積分成S△BCE，S△ECF兩部分，結合（1）確定t的取值範圍；
（4）根據等腰三角形的*質，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三種情況討論．
【解答】解：（1）當B，E，F三點共線時，兩點同時停止運動，如圖所示．
由題意可知：ED=t，BC=10，FD=2t﹣5，FC=2t．
∵ED∥BC，
∴△FED∽△FBC．
∴
=
．
∴
=
．
解得t=5．
∴當t=5時，兩點同時停止運動；
（2）在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∵∠BCF=∠CDE=90°，
=
=2，
∴Rt△BCF∽Rt△CDE．
∴∠BFC=∠CED．
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，則∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵52+（10﹣t）2=102，
解得 t1=10+5
（捨去），t2=10﹣5
．
即當t=10﹣5
時，EC是∠BED的平分線．
（3）分兩種情況討論：①當F在線段CD上時：S四邊形BCFE=S梯形BCDE﹣S△EDF=
（t+10）×5﹣
t（5﹣2t）=t2+25；
②當F在CD延長線上時：
S四邊形BCFE=S梯形BCDE+S△EDF=
（t+10）×5+t（2t﹣5）=﹣t2+25；
∴S=﹣t2+25（0≤t≤5）；
（4）△EFC是等腰三角形有三種情況：
①若EF=EC時，則點F只能在CD的延長線上，
∵EF2=（2t﹣5）2+t2=5t2﹣20t+25，
EC2=52+t2=t2+25，
∴5t2﹣20t+25=t2+25．
∴t=5或t=0（捨去）；
②若EC=FC時，
∵EC2=52+t2=t2+25，FC2=4t2，
∴t2+25=4t2．
∴t=
；
③若EF=FC時，
∵EF2=（2t﹣5）2+t2=5t2﹣20t+25，FC2=4t2，
∴5t2﹣20t+25=4t2．
∴t1=10+5
（捨去），t2=10﹣5
．
∴當t的值爲5，
或10﹣5
時，△EFC是等腰三角形．
知識點：平行四邊形
題型：解答題
