問題詳情:
某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的產值函數爲R(x)=3 700x+45x2-10x3(單位:萬元),成本函數爲C(x)=460x+5(單位:萬元),又在經濟學中,函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義爲Mf(x)=f(x+1)-f(x).
(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x).(提示:利潤=產值-成本)
(2)問年造船量安排多少艘時,可使公司造船的年利潤最大?
(3)求邊際利潤函數MP(x)的單調遞減區間,並說明單調遞減在本題中的實際意義是什麼?
【回答】
解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5(x∈N*且1≤x≤20);
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275(x∈N*且1≤x≤19).
(2)P′(x)=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),
∵x>0,
∴P′(x)=0時,x=12,
∴當0<x<12時,P′(x)>0,
當x>12時,P′(x)<0,
∴x=12時,P(x)有最大值.
即年造船量安排12艘時,可使公司造船的年利潤最大.
(3)MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.
所以,當x≥1時,MP(x)是減函數,
所以單調減區間爲[1,19],且x∈N*.
MP(x)是減函數的實際意義是:隨着產量的增加,每艘船的利潤與前一艘船的利潤比較,利潤在減少.
知識點:函數的應用
題型:解答題