問題詳情:
在同一直角座標系中,拋物線C1:y=ax2﹣2x﹣3與拋物線C2:y=x2+mx+n關於y軸對稱,C2與x軸交於A、B兩點,其中點A在點B的左側.
(1)求拋物線C1,C2的函數表達式;
(2)求A、B兩點的座標;
(3)在拋物線C1上是否存在一點P,在拋物線C2上是否存在一點Q,使得以AB爲邊,且以A、B、P、Q四點爲頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出P、Q兩點的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
【解答】解:
(1)∵C1、C2關於y軸對稱,
∴C1與C2的交點一定在y軸上,且C1與C2的形狀、大小均相同,
∴a=1,n=﹣3,
∴C1的對稱軸爲x=1,
∴C2的對稱軸爲x=﹣1,
∴m=2,
∴C1的函數表示式爲y=x2﹣2x﹣3,C2的函數表達式爲y=x2+2x﹣3;
(2)在C2的函數表達式爲y=x2+2x﹣3中,令y=0可得x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或x=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0);
(3)存在.
∵AB只能爲平行四邊形的一邊,
∴PQ∥AB且PQ=AB,
由(2)可知AB=1﹣(﹣3)=4,
∴PQ=4,
設P(t,t2﹣2t﹣3),則Q(t+4,t2﹣2t﹣3)或(t﹣4,t2﹣2t﹣3),
①當Q(t+4,t2﹣2t﹣3)時,則t2﹣2t﹣3=(t+4)2+2(t+4)﹣3,解得t=﹣2,
∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5,
∴P(﹣2,5),Q(2,5);
②當Q(t﹣4,t2﹣2t﹣3)時,則t2﹣2t﹣3=(t﹣4)2+2(t﹣4)﹣3,解得t=2,
∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3,
∴P(2,﹣3),Q(﹣2,﹣3),
綜上可知存在滿足條件的點P、Q,其座標爲P(﹣2,5),Q(2,5)或P(2,﹣3),Q(﹣2,﹣3).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題