問題詳情：
如圖，在平面直角座標系xOy中，拋物線L1：y＝x2+bx+c過點C（0，﹣3），與拋物線L2：y＝﹣
x2﹣
x+2的一個交點爲A，且點A的橫座標爲2，點P、Q分別是拋物線LL2上的動點．
（1）求拋物線L1對應的函數表達式；
（2）若以點A、C、P、Q爲頂點的四邊形恰爲平行四邊形，求出點P的座標；
（3）設點R爲拋物線L1上另一個動點，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出點Q的座標．
【回答】
【解答】解：（1）將x＝2代入y＝﹣
x2﹣
x+2，得y＝﹣3，故點A的座標爲（2，﹣3），
將A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得
，解得
，
∴拋物線L1：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）設點P的座標爲（x，x2﹣2x﹣3），
第一種情況：AC爲平行四邊形的一條邊，
①當點Q在點P右側時，則點Q的座標爲（x+2，﹣2x﹣3），
將Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣
x2﹣
x+2，得
﹣2x﹣3＝﹣
（x+2）2﹣
（x+2）+2，
解得，x＝0或x＝﹣1，
因爲x＝0時，點P與C重合，不符合題意，所以捨去，
此時點P的座標爲（﹣1，0）；
②當點Q在點P左側時，則點Q的座標爲（x﹣2，x2﹣2x﹣3），
將Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣
x2﹣
x+2，得
y＝﹣
x2﹣x+2，得
x2﹣2x﹣3＝﹣
（x﹣2）2﹣
（x﹣2）+2，
解得，x＝3，或x＝﹣
，
此時點P的座標爲（3，0）或（﹣
，
）；
第二種情況：當AC爲平行四邊形的一條對角線時，
由AC的中點座標爲（1，﹣3），得PQ的中點座標爲（1，﹣3），
故點Q的座標爲（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），
將Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣
x2﹣
x+2，得
﹣x2+2x﹣3═﹣
（2﹣x）2﹣
（2﹣x）+2，
解得，x＝0或x＝﹣3，
因爲x＝0時，點P與點C重合，不符合題意，所以捨去，
此時點P的座標爲（﹣3，12），
綜上所述，點P的座標爲（﹣1，0）或（3，0）或（﹣
，
）或（﹣3，12）；
（3）當點P在y軸左側時，拋物線L1不存在點R使得CA平分∠PCR，
當點P在y軸右側時，不妨設點P在CA的上方，點R在CA的下方，
過點P、R分別作y軸的垂線，垂足分別爲S、T，
過點P作PH⊥TR於點H，則有∠PSC＝∠RTC＝90°，
由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，則∠PCS＝∠RCT，
∴△PSC∽△RTC，
∴
，
設點P座標爲（x1，
），點R座標爲（x2，
），
所以有
，
整理得，x1+x2＝4，
在Rt△PRH中，tan∠PRH＝
＝
過點Q作QK⊥x軸於點K，設點Q座標爲（m，
），
若OQ∥PR，則需∠QOK＝∠PRH，
所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，
所以2m＝
，
解得，m＝
，
所以點Q座標爲（
，﹣7+
）或（
，﹣7﹣
）．
知識點：各地中考
題型：綜合題
