問題詳情:
如圖,拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l:y=x﹣5上.
(1)求拋物線頂點A的座標;
(2)設拋物線與y軸交於點B,與x軸交於點C.D(C點在D點的左側),試判斷△ABD的形狀;
(3)在直線l上是否存在一點P,使以點P、A.B.D爲頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求點P的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
考點:二次函數綜合題。
解答:解:(1)∵頂點A的橫座標爲x==1,且頂點A在y=x﹣5上,
∴當x=1時,y=1﹣5=﹣4,
∴A(1,﹣4).
(2)△ABD是直角三角形.
將A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,
∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)
當y=0時,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3
∴C(﹣1,0),D(3,0),
BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,
BD2+AB2=AD2,
∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.
(3)存在.
由題意知:直線y=x﹣5交y軸於點A(0,﹣5),交x軸於點F(5,0)
∴OE=OF=5,又∵OB=OD=3
∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l,即PA∥BD
則構成平行四邊形只能是PADB或PABD,如圖,
過點P作y軸的垂線,過點A作x軸的垂線並交於點C
設P(x1,x1﹣5),則G(1,x1﹣5)
則PC=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得:
(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2,4
∴P(﹣2,﹣7),P(4,﹣1)
存在點P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以點A.B.D.P爲頂點的四邊形是平行四邊形.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題