問題詳情：
如圖1，平面直角座標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+4x與x軸交於O、A兩點．直線y＝kx+m經過拋物線的頂點B及另一點D（D與A不重合），交y軸於點C．
（1）當OA＝4，OC＝3時．
①分別求該拋物線與直線BC相應的函數表達式；
②連結AC，分別求出tan∠CAO、tan∠BAC的值，並說明∠CAO與∠BAC的大小關係；
（2）如圖2，過點D作DE⊥x軸於點E，連接CE．當a爲任意負數時，試探究AB與CE的位置關係？
【回答】
（1）①根據題意得出A、C的座標，由A的座標可求出拋物線解析式及其頂點B座標，根據B、C座標可得直線解析式；
②tan∠CAO＝
＝
，先根據勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，再根據tan∠BAC＝
可得*；
（2）根據y＝ax2+4x求得A（﹣
，0）、B（﹣
，﹣
），先求得tan∠BAO＝2，再將B（﹣
，﹣
）代入y＝kx+m得m＝
，據此知點C（0，
），由
可求得E（
，0），根據tan∠CEO＝
＝2知∠BAO＝∠CEO，從而得出*．
解：（1）①∵OA＝4，OC＝3，∴A（4，0），C（0，3），
將A（4，0）代入y＝ax2+4x，得：16a+16＝0，解得a＝﹣1，
則y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴B（2，4），
將B（2，4），C（0，3）代入y＝kx+m，得：
，解得
，∴y＝
x+3；
②tan∠CAO＝
＝
，
∵AC2＝（0﹣4）2+（3﹣0）2＝25，BC2＝（2﹣0）2+（4﹣3）2＝5，AB2＝（2﹣4）2+（4﹣0）2＝20，∴AC2＝BC2+AB2，且BC＝
，AB＝2
，
∴△ABC是直角三角形，其中∠ABC＝90°，則tan∠BAC＝
＝
＝
，
∵tan∠CAO＞tan∠BAC，∴∠CAO＞∠BAC．
（2）AB∥CE，理由如下：
由y＝ax2+4x＝0得x1＝0，x2＝﹣
，則A（﹣
，0），
又y＝ax2+4x＝a（x+
）2﹣
，
∴頂點B的座標爲（﹣
，﹣
），則tan∠BAO＝
＝2，
將B（﹣
，﹣
）代入y＝kx+m，得：﹣
+m＝﹣
，解得m＝
，
∴點C（0，
），即OC＝
，
由
得x＝﹣
或x＝
，
∴E（
，0），∴OE＝
，
∴tan∠CEO＝
＝
＝2，
∴tan∠BAO＝tan∠CEO，
∴∠BAO＝∠CEO，
∴AB∥CE．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
