問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xoy中,直線y=x+2與x軸交於點A,與y軸交於點C,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣,且經過A,C兩點,與x軸的另一個交點爲點B.
(1)求拋物線解析式.
(2)若點P爲直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC.求四邊形PAOC的面積的最大值,並求出此時點P的座標.
(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸於點N,使得以點A、M、N爲頂點的三角形與△AOC相似?若存在,求出點M的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)先求的直線y=x+2與x軸交點的座標,然後利用拋物線的對稱*可求得點B的座標;設拋物線的解析式爲y=y=a(x+4)(x﹣1),然後將點C的座標代入即可求得a的值;
(2)設點P、Q的橫座標爲m,分別求得點P、Q的縱座標,從而可得到線段PQ=m2﹣2m,然後利用三角形的面積公式可求得S四邊形PAOC=S△AOC+S△PAC=2PQ+4,然後利用*法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值,從而可求得點P的座標;
(3)根據兩個角對應相等得兩個三角形相似,可得M1,根據拋物線的對稱*,可得M2,根據對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似,可得關於n的方程,根據解方程,可得*.
【解答】解:(1)y=x+2中,當x=0時,y=2,當y=0時,x=﹣4,
∴C(0,2),A(﹣4,0),
由拋物線的對稱*可知:點A與點B關於x=﹣對稱,
∴點B的座標爲1,0).
∵拋物線y=ax2+bx+c過A(﹣4,0),B(1,0),
∴可設拋物線解析式爲y=a(x+4)(x﹣1),
又∵拋物線過點C(0,2),
∴2=﹣4a
∴a=﹣
∴y=﹣x2﹣x+2.
(2)設P(m,﹣m2﹣m+2).
如圖1,過點P作PQ⊥x軸交AC於點Q,
∴Q(m, m+2),
∴PQ=﹣m2﹣m+2﹣(m+2)
=﹣m2﹣2m,
∵S四邊形PAOC=S△AOC+S△PAC=×4×2+×PQ×4=2PQ+4=﹣m2﹣4m+4=﹣(m+2)2+8,
∴當m=﹣2時,△PAC的面積有最大值是8,
此時P(﹣2,3).
(3)如圖2,
,
在Rt△AOC中,AC==2,在Rt△BOC中,BC==,
∵AC2+BC2=20+5=25=AB2,
∴∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴△ABC∽△AOC∽△CBO,
①若點M在x軸上方時,當M點與C點重合,即M(0,2)時,△MAN∽△BAC.
根據拋物線的對稱*,當M(﹣3,2)時,△MAN∽△ABC;
②若點M在x軸的下方時,設N(n,0),則M(n,﹣n2﹣n+2),
∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4,
當=,即===時,MN=AN,即n2+n﹣2=(n+4),
化簡,得n2+2n﹣8=0,
n1=﹣4(舍),n2=2,M(2,﹣3);
當=,即===2時,MN=2AN,即n2+n﹣2=2(n+4),
化簡,得n2﹣n﹣20=0,
解得:n1=﹣4(捨去),n2=5,
∴M(5,﹣18),
綜上所述:存在點M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點A、M、N爲頂點的三角形與△ABC相似.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題