問題詳情:
在平面直角座標系中,直線l:y=x+3與x軸交於點A,拋物線C:y=x2+mx+n的圖象經過點A. (Ⅰ)當m=4時,求n的值; (Ⅱ)設m=-2,當-3≤x≤0時,求二次函數y=x2+mx+n的最小值; (Ⅲ)當-3≤x≤0時,若二次函數y=x2+mx+n時的最小值爲-4,求m、n的值.
【回答】
解:(Ⅰ)當y=x+3=0時,x=-3, ∴點A的座標爲(-3,0). ∵二次函數y=x2+mx+n的圖象經過點A, ∴0=9-3m+n,即n=3m-9, ∴當m=4時,n=3m-9=3; (Ⅱ)拋物線的對稱軸爲直線x=-, 當m=-2時,對稱軸爲x=1,n=3m-9=-15, ∴當-3≤x≤0時,y隨x的增大而減小, ∴當x=0時,二次函數y=x2+mx+n取得最小值,最小值爲-15. (Ⅲ)①當對稱軸-≤-3,即m≥6時, 在-3≤x≤0範圍內,y隨x的增大而增大,當x=-3時,y取得最小值0,不符合題意; ②當-3<-<0,即0<m<6時,在-3≤x≤0範圍內,x=-時,y取得最小值,
∵二次函數最小值爲-4, ∴, 解得:或(捨去), ∴m=2,n=-3; ③當-≥0,即m≤0時,在-3≤x≤0範圍內,y隨x的增大而減小,當x=0時,y取最小值,即n=-4,
∴, 解得:(捨去). 綜上所述:m=2,n=-3.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題