問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,O爲座標原點,直線y=﹣x﹣3與x軸交於點A,與y軸交於點C,拋物線y=x2+bx+c經過A、C兩點,與x軸交於另一點B
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D是第二象限拋物線上的一個動點,連接AD、BD、CD,當S△ACD= S四邊形ACBD時,求D點座標;
(3)在(2)的條件下,連接BC,過點D作DE⊥BC,交CB的延長線於點E,點P是第三象限拋物線上的一個動點,點P關於點B的對稱點爲點Q,連接QE,延長QE與拋物線在A、D之間的部分交於一點F,當∠DEF+∠BPC=∠DBE時,求EF的長.
【回答】
(1)解:∵令x=0得:y=﹣3, ∴C(0,﹣3). 令y=0得:﹣x﹣3=0,解得x=﹣3, ∴A(﹣3,0). 將A、C兩點的座標代入拋物線的解析式的: ,解得: . ∴拋物線的解析式爲y=x2+2x﹣3 (2)解:如圖1所示: 令y=0得:x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或x=1. ∴AB=4. ∵S△ACD= S四邊形ACBD , ∴S△ADC:S△DCB=3:5. ∴AE:EB=3:5. ∴AE=4× = . ∴點E的座標爲(﹣ ,0). 設EC的解析式爲y=kx+b,將點C和點E的座標代入得: , 解得:k=﹣2,b=﹣3. ∴直線CE的解析式爲y=﹣2x﹣3. 將y=﹣2x﹣3與y=x2+2x﹣3聯立,解得:x=﹣4或x=0(捨去), 將x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得:y=5. ∴點D的座標爲(﹣4,5) (3)解:如圖2所示:過點D作DN⊥x軸,垂足爲N,過點P作PM⊥x軸,垂足爲M. 設直線BC的解析式爲y=kx+b,將點C和點B的座標代入得: , 解得:k=3,b=﹣3. ∴直線BC的解析式爲y=3x﹣3. 設直線DE的解析式爲y=﹣ x+n,將點D的座標代入得:﹣ ×(﹣4)+n=5,解得n=5﹣ = . ∴直線DE的解析式爲y=﹣ x+ . 將y=3x﹣3與y=﹣ x+ 聯立解得:x=2,y=3. ∴點E座標爲(2,3). 依據兩點間的距離公式可知:BC=CE= . ∵點P與點Q關於點B對稱, ∴PB=BQ. 在△PCB和△QEB中 , ∴△PCB≌△QEB. ∴∠BPC=∠Q. 又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE,∠DEF=∠QEG,∠EGB=∠Q+∠QEG ∴∠DBE=∠DGB. 又∵∠DBE+∠BDE=90°, ∴∠DGB+∠BDG=90°,即∠PBD=90°. ∵D(﹣4,5),B(1,0), ∴DM=NB. ∴∠DBN=45°. ∴∠PBM=45°. ∴PM=MB 設點P的座標爲(a,a2+2a﹣3),則BM=1﹣a,PM=﹣a2﹣2a+3. ∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3,解得:a=﹣2或a=1(捨去). ∴點P的座標爲(﹣2,3). ∴PC∥x軸. ∵∠Q=∠BPC, ∴EQ∥PC. ∴點E與點F的縱座標相同. 將y=3代入拋物線的解析式得:x2+2x﹣3=3,解得:x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ (捨去). ∴點F的座標爲(﹣1 ,3). ∴EF=2﹣(﹣1﹣ )=3+
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題