問題詳情：
已知函數
（Ⅰ）若函數
存在最小值，且最小值大於
，求實數
的取值範圍；
（Ⅱ）若存在實數
，使得
，求*：函數
在區間
上單調遞增。
【回答】
（Ⅰ）f′（x）
，
①a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）恆成立，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，故無最小值；
②a＞0時，由f′（x）＞0，解得：x＞a，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
故f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
此時f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），
令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），
則g（a）在（0，+∞）遞減，又g（1）＝0，
∴0＜a＜1時，g（a）＞0，此時f（x）min＞0，
a≥1時，g（a）≤0，此時f（x）min≤0，
故a的範圍是（0，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在實數x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），則a＞0，
∵f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
不妨設0＜x1＜x2，則0＜x1＜a，
令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），
則h′（x）
，
∴x∈（0，a）時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，a）遞減，
∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，
即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，
∴f（x1）＞f（2a﹣x1），
∵f（x1）＝f（x2），
∴f（x2）＞f（2a﹣x1），
∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，
∵f（x）在（a，+∞）遞增，
∴x2＞2a﹣x1，∴
a，
∴函數f（x）在區間[
，+∞）遞增，
∵x1≠x2，∴
，
∴函數f（x）在區間[
，+∞）上單調遞增．
知識點：導數及其應用
題型：綜合題
