已知函數．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若函數在上是減函數，求實數的最小值；（Ⅲ）若存在，使成立，求實數的取值...

問題詳情：

已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數在上是減函數，求實數的最小值；

（Ⅲ）若存在，使成立，求實數的取值範圍．

【回答】

解：已知函數的定義域均爲，且．

（Ⅰ）函數           …………………………………………1分

當且時，；當時，.所以函數的單調減區間是，增區間．  ……………………………………3分

（Ⅱ）因在上爲減函數，故在上恆成立，也即當時，．           ………………………5分

又，

故當，即時，．   ……………………7分

所以，於是，故的最小值爲．     ………………………8分

（Ⅲ）命題“若存在使成立”等價於“當時，有” ．             

由（Ⅱ）知，當時，，所以．

故問題等價於：“當時，有” ………………10分

①當時，由（Ⅱ）知，在上爲減函數，

則，故．……………12分

②解法一：

當，時，，由（Ⅱ）知，函數在上是減函數，，所以，與矛盾，不合題意．

綜上，得實數的取值範圍．         …………………14分

解法二：

當時，由於在上爲增函數，故的值域爲，即．

（ⅰ）若，即時，由的單調*和值域知，存在唯一，使，且滿足：當時，，爲減函數；當時，，爲增函數，所以．

所以，

與矛盾，不合題意．……………………………………………13分

（ⅱ）若，在恆成立，故在上爲增函數，於是，，不合題意．

綜上，得實數的取值範圍．   

知識點：不等式

題型：解答題