問題詳情：
如圖，已知直線
與拋物線
：
相交於
和點
兩點.
⑴.求拋物線
的函數表達式；
⑵.若點
是位於直線
上方拋物線上的一動點，以
爲相鄰兩邊作平行四邊形
,當平行四邊形
的面積最大時，求此時四邊形
的面積
及點
的座標；
⑶.在拋物線
的對稱軸上是否存在定點
,使拋物線
上任意一點
到點
的距離等於到直線
的距離，若存在，求出定點
的座標；若不存在，請說明理由.
【回答】
考點：二次函數的圖象及其*質、待定係數法、數學的建模思想、勾股定理、距離公式等.
分析：
本題的⑴利用“待定係數法”即可求出二次函數的解析式；本題的⑵抓住建立平行四邊形的面積是△
的2倍，所以以△
的面積建立一個二次函數來求出其最大面積，再進一步求出平行四邊形的最大面積；本題的⑶問主要先假設存在，再在此基礎上從特殊點切入利用距離公式進行探究其存在的可能*.
略解：
⑴. ∵
和點
兩點在拋物線
上
∴
解得
∴拋物線
的表達式爲：
······ 4分
⑵. 設直線
的解析式爲
∵
和點
在直線
上
∴
解得
∴直線
的解析式爲
····· 5分
如圖所示，過
作
軸交
於
設
，則
（
）
∴
，
∴
△
=
△
+
=
∴
△
=
∴當
，△
的面積有最大值
················ 8分
∴
□MANB=
△
=
，此時
.·············· 9分
⑶.存在.
. ························ 10分
理由如下：令拋物線頂點爲
，則
；則頂點
到直線
的距離爲
；
設
，再設
設
到直線
的距離爲
,則
∵
爲拋物線上任意一點都有
∴當
與頂點
重合時，也有
;則
,即頂點
到直線
的距離爲
.
∴
，此時
∴
······························· 12分
∵
∴
∵
，
∴
整理化簡可得
∴當
時，無論
取任何實數，均有
.··· 14分
點評：
本題的⑴問利用待定係數法即可獲得解決；本
題⑵問是數學建模思想的運用，本問比較巧妙的是
知識點：各地中考
題型：綜合題
