問題詳情:
設,.已知函數,.
(1)求的單調區間;
(2)已知函數和的圖象在公共點(x0,y0)處有相同的切線,
(i)求*:在處的導數等於0;
(ii)若關於x的不等式在區間上恆成立,求b的取值範圍.
【回答】
(1)遞增區間爲,,遞減區間爲;(2)(ⅰ)見解析,(ⅱ).
【思路分析】(1)先求函數的導數,再根據,求得兩個極值點的大小關係,進而可得函數的單調區間;(2)(ⅰ)根據與有共同的切線,根據導數的幾何意義建立方程,可求得;(ii)將不等式轉化爲,再根據前兩問可知是極大值點,,由(1)知在內單調遞增,在內單調遞減,從而在上恆成立,可得,,構造函數,根據單調*可求函數的值域,即得b的取值範圍.
當變化時,,的變化情況如下表:
所以的單調遞增區間爲,,單調遞減區間爲.
(2)(i)因爲,由題意知,
所以,解得.
所以在處的導數等於0.
另一方面,由於,故,
由(1)知在內單調遞增,在內單調遞減,
故當時,在上恆成立,
從而在上恆成立.
由,得,.
令,,則,
令,解得(捨去)或.
因爲,,,故的值域爲.
所以的取值範圍是.
【名師點睛】本題考查導數的應用,屬於中檔問題,第一問的關鍵是根據條件判斷兩個極值點的大小,從而避免討論;第二問要注意切點是公共點,切點處的導數相等,求的取值範圍的關鍵是得出,然後構造函數進行求解.
知識點:導數及其應用
題型:解答題