問題詳情：
如圖，在平面座標系中，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交於點A，點B，動點P（a，b）在第一象限內，由點P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足爲M，N）分別與直線AB相交於點E，點F，當點P（a，b）運動時，矩形PMON的面積爲定值2．當點E，F都在線段AB上時，由三條線段AE，EF，BF組成一個三角形，記此三角形的外接圓面積爲S1，△OEF的面積爲S2。試探究：是否存在最大值？若存在，請求出該最大值；若不存在，請說明理由。
【回答】
存在。
∵四邊形OAPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF爲等腰直角三角形。
∵E點的橫座標爲a，E（a，2﹣a），
∴AM=EM=2﹣a。
∴AE2=2（2﹣a）2=2a2﹣8a+8。
∵F的縱座標爲b，F（2﹣b，b），
∴BN=FN=2﹣b。∴BF2=2（2﹣b）2=2b2﹣8b+8。
∵PF=PE=a+b﹣2，
∴EF2=2（a+b﹣2）2=2a2+4ab+2b2﹣8a﹣8b+8。
∵ab=2，
∴EF2=2a2+2b2﹣8a﹣8b+16。
∴EF2=AE2+BF2。
∴線段AE、EF、BF組成的三角形爲直角三角形，且EF爲斜邊。
∴此三角形的外接圓的面積爲。
∵，
∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME，=（PF+ON）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM
= [PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]= （PF•EM+OM•PE）=PE（EM+OM）
=（a+b﹣2）（2﹣a+a）=a+b﹣2。
∴。
設m=a+b﹣2，則，
∵，
∴當時，有最大值，最大值爲。
【考點】單動點問題，等腰直角三角形的判定和*質，勾股定理和逆定理，二次函數的*質，偶次冪的非負*質，轉換思想的應用。
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
