問題詳情：
如圖，拋物線y＝－x2－2x＋3 的圖象與x軸交於A，B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交於點C，點D爲拋物線的頂點．
(1)求A，B，C三點的座標．
(2)點M爲線段AB上一點(點M不與點A，B重合)，過點M作x軸的垂線，與直線AC交於點E，與拋物線交於點P，過點P作PQ∥AB交拋物線於點Q，過點Q作QN⊥x軸於點N.若點P在點Q左邊，當矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積．
(3)在(2)的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連結DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交於點G(點G在點F的上方)．若FG＝2DQ，求點F的座標．
【回答】
解：(1)由拋物線y=－x2－2x＋3可知點C(0，3)，
令y＝0，則0=－x2－2x＋3，解得x＝－3或x＝1，∴點A(－3，0)，B(1，0)．
(2)由拋物線y=－x2－2x＋3=－(x＋1)2＋4可知，對稱軸爲直線x=-1，
設點M的橫座標爲m，則PM=－m2－2m＋3，MN=(-m-1)×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周長=2(PM＋MN)=2(-m2-2m＋3-2m-2)=-2m2－8m＋2=-2(m＋2)2＋10，
∴當m＝－2時矩形的周長最大．
∵點A(－3，0)，C(0，3)，可求得直線AC的函數表達式爲y=x＋3，
當x=-2時，y=-2＋3=1，則點E(-2，1)，∴EM＝1，AM＝1，∴S＝
AM·EM＝
.
(3)∵點M的橫座標爲－2，拋物線的對稱軸爲x＝－1，
∴點N應與原點重合，點Q與點C重合，∴DQ＝DC，
把x＝－1代入y＝－x2－2x＋3，得y＝4，∴點D(－1，4)．∴DQ＝DC
∵FG＝2DQ，∴FG＝4，
設點F(n，－n2－2n＋3)，則點G(n，n＋3)，
∵點G在點F的上方，∴(n＋3)－(－n2－2n＋3)＝4，解得n＝－4或n＝1.
∴點F(－4，－5)或(1，0)．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
