問題詳情:
如圖1,已知拋物線y=﹣x2+x+與x軸交於A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交於點C,點D是點C關於拋物線對稱軸的對稱點,連接CD,過點D作DH⊥x軸於點H,過點A作AE⊥AC交DH的延長線於點E.
(1)求線段DE的長度;
(2)如圖2,試在線段AE上找一點F,在線段DE上找一點P,且點M爲直線PF上方拋物線上的一點,求當△CPF的周長最小時,△MPF面積的最大值是多少;
(3)在(2)問的條件下,將得到的△CFP沿直線AE平移得到△C′F′P′,將△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″,記在平移過稱中,直線F′P′與x軸交於點K,則是否存在這樣的點K,使得△F′F″K爲等腰三角形?若存在求出OK的值;若不存在,說明理由.
【回答】
解:(1)對於拋物線y=﹣x2+x+,
令x=0,得y=,即C(0,),D(2,),
∴DH=,
令y=0,即﹣x2+x+=0,得x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵AE⊥AC,EH⊥AH,
∴△ACO∽△EAH,
∴=,即=,
解得:EH=,
則DE=2;
(2)找點C關於DE的對稱點N(4,),找點C關於AE的對稱點G(﹣2,﹣),
連接GN,交AE於點F,交DE於點P,即G、F、P、N四點共線時,△CPF周長=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,
直線GN的解析式:y=x﹣;直線AE的解析式:y=﹣x﹣,
聯立得:F (0,﹣),P(2,),
過點M作y軸的平行線交FH於點Q,
設點M(m,﹣m2+m+),則Q(m, m﹣),(0<m<2);
∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+,
∵對稱軸爲:直線m=<2,開口向下,
∴m=時,△MPF面積有最大值: ;
(3)由(2)可知C(0,),F(0,),P(2,),
∴CF=,CP==,
∵OC=,OA=1,
∴∠OCA=30°,
∵FC=FG,
∴∠OCA=∠FGA=30°,
∴∠CFP=60°,
∴△CFP爲等邊三角形,邊長爲,
翻折之後形成邊長爲的菱形C′F′P′F″,且F′F″=4,
1)當K F′=KF″時,如圖3,
點K在F′F″的垂直平分線上,所以K與B重合,座標爲(3,0),
∴OK=3;
2)當F′F″=F′K時,如圖4,
∴F′F″=F′K=4,
∵FP的解析式爲:y=x﹣,
∴在平移過程中,F′K與x軸的夾角爲30°,
∵∠OAF=30°,
∴F′K=F′A
∴AK=4
∴OK=4﹣1或者4+1;
3)當F″F′=F″K時,如圖5,
∵在平移過程中,F″F′始終與x軸夾角爲60°,
∵∠OAF=30°,
∴∠AF′F″=90°,
∵F″F′=F″K=4,
∴AF″=8,
∴AK=12,
∴OK=11,
綜上所述:OK=3,4﹣1,4+1或者11.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題