問題詳情：
已知函數
，
．
（Ⅰ）若
在
上存在極大值點，求實數
的取值範圍；
（Ⅱ）求*：
，其中
．
【回答】
（Ⅰ） 
（Ⅱ）見*
【分析】
（Ⅰ）先對函數
求導，再由分類討論的思想，分別討論
，
和
三種情況，即可得出結果；
（Ⅱ）令
可得
，由（Ⅰ）可知
的極大值，再由
時，
，即可*結論成立；也可用數學歸納法*.
【詳解】
解：（Ⅰ）由於
，
則①當
時，
，
即當
時，
，
單調遞增；
當
時，
，
單調遞減；
故
在
處取得極大值，
則
，解得：
；
②當
時，
恆成立，
無極值，不合題意捨去；
③當
時，
，
即當
時，
，
單調遞減；
當
時， 
，
單調遞增；
故
在
處取得極小值，不合題意捨去；
因此當
時，
在
上存在極大值點；
（Ⅱ）法一：令
，
，
由（Ⅰ）得：
在
處取得極大值1，且該極值是唯一的，
則
，即
，當且僅當
時取“=”，
故當
時，
，
因此
．
法二：下面用數學歸納法*：
，對
恆成立．
（1）當
時，左邊
，右邊
，
左邊
右邊，結論成立；
（2）假設當
時，結論成立，即
，
當
時，左邊
，
而
，
令
，
，
由（Ⅰ）得：
在
處取得極大值1，且該極值是唯一的，
則
，即
，當且僅當
時取“=”，
則
對
恆成立，即
成立
故當
時，結論成立，
因此，綜合（1）（2）得
，對
恆成立
【點睛】
本題主要考查導數在函數中的應用，通常需要對函數求導，由導數的方法研究函數的單調*和極值等，屬於常考題型.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
