問題詳情:
如圖1,已知直線y=2x分別與雙曲線y=、y=(x>0)交於P、Q兩點,且OP=2OQ.
(1)求k的值.
(2)如圖2,若點A是雙曲線y=上的動點,AB∥x軸,AC∥y軸,分別交雙曲線y=(x>0)於點B、C,連接BC.請你探索在點A運動過程中,△ABC的面積是否變化?若不變,請求出△ABC的面積;若改變,請說明理由;
(3)如圖3,若點D是直線y=2x上的一點,請你進一步探索在點A運動過程中,以點A、B、C、D爲頂點的四邊形能否爲平行四邊形?若能,求出此時點A的座標;若不能,請說明理由.
【回答】
【解答】解:(1)過點Q作QE⊥x軸,垂足爲E,過點P作PF⊥x軸,垂足爲F,如圖1,
聯立,
解得:或.
∵x>0,
∴點P的座標爲(2,4).
∴OF=2,PF=4.
∵QE⊥x軸,PF⊥x軸,
∴QE∥PF.
∴△OEQ∽△OFP.
∴==.
∵OP=2OQ,
∴OF=2OE=2,PF=2EQ=4.
∴OE=1,EQ=2.
∴點Q的座標爲(1,2).
∵點Q(1,2)在雙曲線y=上,
∴k=1×2=2.
∴k的值爲2.
(2)如圖2,
設點A的座標爲(a,b),
∵點A(a,b)在雙曲線y=上,
∴b=.
∵.AB∥x軸,AC∥y軸,
∴xC=xA=a,yB=yA=b=.
∵點B、C在雙曲線y=上,
∴xB==,yC=.
∴點B的座標爲(,),點C的座標爲(a,).
∴AB=a﹣=,AC=﹣=.
∴S△ABC=ABAC
=××
=.
∴在點A運動過程中,△ABC的面積不變,始終等於.
(3)①AC爲平行四邊形的一邊,
Ⅰ.當點B在點Q的右邊時,如圖3,
∵四邊形ACBD是平行四邊形,
∴AC∥BD,AC=BD.
∴xD=xB=.
∴yD=2xD=.
∴DB=﹣.
∵AC=﹣=,
∴=﹣.
解得:a=±2.
經檢驗:a=±2是該方程的解.
∵a>0,
∴a=2.
∴b==.
∴點A的座標爲(2,).
Ⅱ.當點B在點Q的左邊且點C在點Q的右邊時,如圖4,
∵四邊形ACDB是平行四邊形,
∴AC∥BD,AC=BD.
∴xD=xB=.
∴yD=2xD=.
∴DB=﹣.
∵AC=,
∴=﹣,
解得:a=±2.
經檢驗:a=±2是該方程的解.
∵a>0,
∴a=2.
∴b==4.
∴點A的座標爲(2,4).
②AC爲平行四邊形的對角線,
此時點B、點C都在點Q的左邊,如圖5,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴yD=yC=.
∴xD==.
∴CD=﹣a.
∵AB=a﹣=,
∴=﹣a.
解得:a=±.
經檢驗:a=±是該方程的解.
∵a>0,
∴a=.
∴b==4.
∴點A的座標爲(,4).
綜上所述:當點A、B、C、D爲頂點的四邊形爲平行四邊形時,此時點A的座標爲(2,)或(2,4)或(,4).
知識點:反比例函數
題型:綜合題