問題詳情:
如圖,直線y=kx+b(k、b爲常數)分別與x軸、y軸交於點A(-4,0)、B(0,3),拋物線y=-x2+2x+1與y軸交於點C.
(1)求直線y=kx+b的解析式;
(2)若點P(x,y)是拋物線y=-x2+2x+1上的任意一點,設點P到直線AB的距離爲d,求d關於x的函數解析式,並求d取最小值時點P的座標;
(3)若點E在拋物線y=-x2+2x+1的對稱軸上移動,點F在直線AB上移動,求CE+EF的最小值.
【回答】
思路分析:(1)將A、B兩點座標代入y=kx+b中,求出k、b的值;(2)作出點P到直線AB的距離後,由於∠AHC=90°,考慮構造“K形”相似,得到△MAH、△OBA、△NHP三個三角形兩兩相似,三邊之比都是3∶4∶5.由“”可得,整理可得d關於x的二次函數,*可求出d的最小值;
(3)如果點C關於直線x=1的對稱點C′,根據對稱*可知,CE=C′E.當C′F⊥AB時,CE+EF最小.
解:(1)∵y=kx+b經過A(-4,0)、B(0,3),
∴,解得k=,b=3.
∴y=x+3.
(2)過點P作PH⊥AB於點H,過點H作x軸的平行線MN,分別過點A、P作MN的垂線段,垂足分別爲M、N.
設H(m,m+3),則M(-4,m+3),N(x,m+3),P(x,-x2+2x+1).
∵PH⊥AB,∴∠CHN+∠AHM=90°,∵AM⊥MN,∴∠MAH+∠AHM=90°.
∴∠MAH=∠CHN,∵∠AMH=∠CNH=90°,∴△AMH∽△HNP.
∵MA∥y軸,∴△MAH∽△OBA.∴△OBA∽△NHP.
∴.
∴.
整理得:,所以當x=,即P(,).
(3)作點C關於直線x=1的對稱點C′,過點C′作C′F⊥AB於F.過點F作JK∥x軸,,分別過點A、C′作AJ⊥JK於點J,C′K⊥JK於點K.則C′(2,1)
設F(m,m+3)
∵C′F⊥AB,∠AFJ+∠C′FK=90°,∵CK⊥JK,∴∠C′+∠C′FK=90°.
∴∠C′=∠AFJ,∵∠J=∠K=90°,∴△AFJ∽△FC′K.
∴,∴,解得m=或-4(不符合題意).
∴F(,),∵C′(2,1),∴FC′=.
∴CE+EF的最小值=C′E=.
知識點:各地中考
題型:綜合題