問題詳情：
如圖1，直線l：y=
x+m與x軸、y軸分別交於點A和點B（0，﹣1），拋物線y=
x2+bx+c經過點B，與直線l的另一個交點爲C（4，n）．
（1）求n的值和拋物線的解析式；
（2）點D在拋物線上，DE∥y軸交直線l於點E，點F在直線l上，且四邊形DFEG爲矩形（如圖2），設點D的橫座標爲t（0＜t＜4），矩形DFEG的周長爲p，求p與t的函數關係式以及p的最大值；
（3）將△AOB繞平面內某點M旋轉90°或180°，得到△A1O1B1，點A、O、B的對應點分別是點A1、O1、B1．若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，那麼我們就稱這樣的點爲“落點”，請直接寫出“落點”的個數和旋轉180°時點A1的橫座標．
【回答】
（1）n=2；y=
x2﹣
x﹣1；（2）p=
；當t=2時，p有最大值
；（3）6個，
或
；
【分析】
（1）把點B的座標代入直線解析式求出m的值，再把點C的座標代入直線求解即可得到n的值，然後利用待定係數法求二次函數解析式解答； （2）令y=0求出點A的座標，從而得到OA、OB的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，然後根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根據矩形的周長公式表示出p，利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得到P與t的關係式，再利用二次函數的最值問題解答； （3）根據逆時針旋轉角爲90°可得A1O1∥y軸時，B1O1∥x軸，旋轉角是180°判斷出A1O1∥x軸時，B1A1∥AB，根據圖3、圖4兩種情形即可解決．
【詳解】
解：
（1）∵直線l：y=
x+m經過點B（0，﹣1），
∴m=﹣1，
∴直線l的解析式爲y=
x﹣1，
∵直線l：y=
x﹣1經過點C（4，n），
∴n=
×4﹣1=2，
∵拋物線y=
x2+bx+c經過點C（4，2）和點B（0，﹣1），
∴
，
解得
，
∴拋物線的解析式爲y=
x2﹣
x﹣1；
（2）令y=0，則
x﹣1=0，
解得x=
，
∴點A的座標爲（
，0），
∴OA=
，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB=
=
=
，
∵DE∥y軸，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•
=
DE，
DF=DE•sin∠DEF=DE•
=
DE，
∴p=2（DF+EF）=2（
+
）DE=
DE，
∵點D的橫座標爲t（0＜t＜4），
∴D（t，
t2﹣
t﹣1），E（t，
t﹣1），
∴DE=（
t﹣1）﹣（
t2﹣
t﹣1）=﹣
t2+2t，
∴p=
×（﹣
t2+2t）=﹣
t2+
t，
∵p=﹣
（t﹣2）2+
，且﹣
＜0，
∴當t=2時，p有最大值
．
（3）“落點”的個數有6個，如圖1，圖2中各有2個，圖3，圖4各有一個所示．
如圖3中，設
A1的橫座標爲m，則O1的橫座標爲m+
，
∴
m2﹣
m﹣1=
（m+
）2﹣
（m+
）﹣1，
解得m=
，
如圖4中，設A1的橫座標爲m，則B1的橫座標爲m+
，B1的縱座標比例A1的縱座標大1，
∴
m2﹣
m﹣1+1=
（m+
）2﹣
（m+
）﹣1，
解得m=
，
∴旋轉180°時點A1的橫座標爲
或
【點睛】
本題是二次函數綜合題型，主要考查了一次函數圖象上點的座標特徵，待定係數法求二次函數解析式，銳角三角函數，長方形的周長公式，以及二次函數的最值問題，本題難點在於（3）根據旋轉角是90°判斷出A1O1∥y軸時，B1O1∥x軸，旋轉角是180°判斷出A1O1∥x軸時，B1A1∥AB，解題時注意要分情況討論．
知識點：二次函數單元測試
題型：解答題
