問題詳情：
如圖1，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交於A（﹣4，0），B（1，0）兩點，過點B的直線y=kx+
分別與y軸及拋物線交於點C，D．
（1）求直線和拋物線的表達式；
（2）動點P從點O出發，在x軸的負半軸上以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動，設運動時間爲t秒，當t爲何值時，△PDC爲直角三角形？請直接寫出所有滿足條件的t的值；
（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個單位後，與x軸，y軸分別交於E，F兩點，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，在直線EF上是否存在點N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及點M，N的座標；若不存在，請說明理由．
【回答】
解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得
，
解得：
，
∴拋物線解析式爲：y=
，
∵過點B的直線y=kx+
，
∴代入（1，0），得：k=﹣
，
∴BD解析式爲y=﹣
；
（2）由
得交點座標爲D（﹣5，4），
如圖1，過D作DE⊥x軸於點E，作DF⊥y軸於點F，
當P1D⊥P1C時，△P1DC爲直角三角形，
則△DEP1∽△P1OC，
∴
=
，即
=
，
解得t=
，
當P2D⊥DC於點D時，△P2DC爲直角三角形
由△P2DB∽△DEB得
=
，
即
=
，
解得：t=
；
當P3C⊥DC時，△DFC∽△COP3，
∴
=
，即
=
，
解得：t=
，
∴t的值爲
、
、
．
（3）由已知直線EF解析式爲：y=﹣
x﹣
，
在拋物線上取點D的對稱點D′，過點D′作D′N⊥EF於點N，交拋物線對稱軸於點M
過點N作NH⊥DD′於點H，此時，DM+MN=D′N最小．
則△EOF∽△NHD′
設點N座標爲（a，﹣
），
∴
=
，即
=
，
解得：a=﹣2，
則N點座標爲（﹣2，﹣2），
求得直線ND′的解析式爲y=
x+1，
當x=﹣
時，y=﹣
，
∴M點座標爲（﹣
，﹣
），
此時，DM+MN的值最小爲
=
=2
．
【點評】本題是二次函數和幾何問題綜合題，應用了二次函數*質以及轉化的數學思想、分類討論思想．解題時注意數形結合．
知識點：各地中考
題型：綜合題
