問題詳情：
如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，點D在
上，點E在弦AB上（E不與A重合），且四邊形BDCE爲菱形．
（1）求*：AC=CE；
（2）求*：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O的半徑爲3．
①若
=
，求BC的長；
②當
爲何值時，AB•AC的值最大？
【回答】
【解答】解：（1）∵四邊形EBDC爲菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四邊形ABDC是圓的內接四邊形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC，
∴AC=AE；
（2）以點C爲圓心，CE長爲半徑作⊙C，與BC交於點F，於BC延長線交於點G，則CF=CG，
由（1）知AC=CE=CD，
∴CF=CG=AC，
∵四邊形AEFG是⊙C的內接四邊形，
∴∠G+∠AEF=180°，
又∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠G=∠BEF，
∵∠EBF=∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴
=
，即BF•BG=BE•AB，
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，
∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）設AB=5k、AC=3k，
∵BC2﹣AC2=AB•AC，
∴BC=2
k，
連接ED交BC於點M，
∵四邊形BDCE是菱形，
∴DE垂直平分BC，
則點E、O、M、D共線，
在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=
BC=
k，
∴DM=
=
k，
∴OM=OD﹣DM=3﹣
k，
在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣
k）2+（
k）2=32，
解得：k=
或k=0（舍），
∴BC=2
k=4
；
②設OM=d，則MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，
∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，
AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，
由（2）得AB•AC=BC2﹣AC2
=﹣4d2+6d+18
=﹣4（d﹣
）2+
，
∴當x=
，即OM=
時，AB•AC最大，最大值爲
，
∴DC2=
，
∴AC=DC=
，
∴AB=
，此時
=
．
【點評】本題主要考查圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握圓的有關*質、圓內接四邊形的*質及菱形的*質、相似三角形的判定與*質、二次函數的*質等知識點．
知識點：各地中考
題型：解答題
