問題詳情:
閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個問題:
如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,點D在AB上,且∠BAC=2∠DCB,求*:AC=AD.
小明發現,除了直接用角度計算的方法外,還可以用下面兩種方法:
方法1:如圖2,作AE平分∠CAB,與CD相交於點E.
方法2:如圖3,作∠DCF=∠DCB,與AB相交於點F.
(1)根據閱讀材料,任選一種方法,*AC=AD.
用學過的知識或參考小明的方法,解決下面的問題:
(2)如圖4,△ABC中,點D在AB上,點E在BC上,且∠BDE=2∠ABC,點F在BD上,且∠AFE=∠BAC,延長DC、FE,相交於點G,且∠DGF=∠BDE.
①在圖中找出與∠DEF相等的角,並加以*;
②若AB=kDF,猜想線段DE與DB的數量關係,並*你的猜想.
【回答】
解:(1)方法一:如圖2中,作AE平分∠CAB,與CD相交於點E.
∵∠CAE=∠DAE,∠CAB=2∠DCB,∴∠CAE=∠CDB.
∵∠CDB+∠ACD=90°,∴∠CAE+∠ACD=90°,∴∠AEC=90°.
∵AE=AE,∠AEC=∠AED=90°,∴△AEC≌△AED,∴AC=AD.
方法二:如圖3中,作∠DCF=∠DCB,與AB相交於點F.
∵∠DCF=∠DCB,∠A=2∠DCB,∴∠A=∠BCF.
∵∠BCF+∠ACF=90°,∴∠A+∠ACF=90°,∴∠AFC=90°.
∵∠ACF+∠BCF=90°,∠BCF+∠B=90°,∴∠ACF=∠B.
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD,∴AC=AD.
(2)①如圖4中,結論:∠DEF=∠FDG.
理由:在△DEF中,∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°.在△DFG中,∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°.
∵∠EFD=∠GFD,∠G=∠EDF,∴∠DEF=∠FDG.
②結論:BD=k•DE.
理由:如圖4中,如圖延長AC到K,使得∠CBK=∠ABC.
∵∠ABK=2∠ABC,∠EDF=2∠ABC,∴∠EDF=∠ABK.
∵∠DFE=∠A,∴△DFE∽△BAK,∴ ==,∴BK=k•DE,∴∠AKB=∠DEF=∠FDG.
∵BC=BC,∠CBD=∠CBK,∴△BCD≌△BCK,∴BD=BK,∴BD=k•DE
知識點:各地中考
題型:解答題