問題詳情:
(1)某學校“智慧方園”數學社團遇到這樣一個題目:
如圖1,在△ABC中,點O在線段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=,BO:CO=1:3,求AB的長.
經過社團成員討論發現,過點B作BD∥AC,交AO的延長線於點D,透過構造△ABD就可以解決問題(如圖2).
請回答:∠ADB= °,AB= .
(2)請參考以上解決思路,解決問題:
如圖3,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交於點O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的長.
【回答】
(1)75;4;(2)CD=4.
【解析】
【分析】
(1)根據平行線的*質可得出∠ADB=∠OAC=75°,結合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA,利用相似三角形的*質可求出OD的值,進而可得出AD的值,由三角形內角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB,由等角對等邊可得出AB=AD=4,此題得解;
(2)過點B作BE∥AD交AC於點E,同(1)可得出AE=4,在Rt△AEB中,利用勾股定理可求出BE的長度,再在Rt△CAD中,利用勾股定理可求出DC的長,此題得解.
【詳解】
解:(1)∵BD∥AC,
∴∠ADB=∠OAC=75°.
∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA,
∴.
又∵AO=3,
∴OD=AO=,
∴AD=AO+OD=4.
∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB,
∴AB=AD=4.
(2)過點B作BE∥AD交AC於點E,如圖所示.
∵AC⊥AD,BE∥AD,
∴∠DAC=∠BEA=90°.
∵∠AOD=∠EOB,
∴△AOD∽△EOB,
∴.
∵BO:OD=1:3,
∴.
∵AO=3,
∴EO=,
∴AE=4.
∵∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠BAC=30°,AB=AC,
∴AB=2BE.
在Rt△AEB中,BE2+AE2=AB2,即(4)2+BE2=(2BE)2,
解得:BE=4,
∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,
解得:CD=4.
【點睛】
本題考查了相似三角形的*質、等腰三角形的判定與*質、勾股定理以及平行線的*質,解題的關鍵是:(1)利用相似三角形的*質求出OD的值;(2)利用勾股定理求出BE、CD的長度.
知識點:相似三角形
題型:解答題