問題詳情:
如圖四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E爲CD上一點,且∠BAE=45°.若CD=4,則△ABE的面積爲( )
A. B. C. D.
【回答】
D【解答】解法一:作AF⊥CB交CB的延長線於F,在CF的延長線上取一點G,是的FG=DE.
∵AD∥BC,
∴∠BCD+∠ADC=180°,
∴∠ADC=∠BCD=∠AFC=90°,
∴四邊形ADCF是矩形,
∵∠CAD=45°,
∴AD=CD,
∴四邊形ADCF是正方形,
∴AF=AD,∠AFG=∠ADF=90°,
∴△AFG≌△ADE,
∴AG=AE,∠FAG=∠DAE,
∴∠FAG+∠FAB=∠EAD+∠FAB=45°=∠BAE,
∴△BAE≌△BAG,
∴BE=BG=BF+GF=BF+DE,
設BC=a,則AB=4+a,BF=4﹣a,
在Rt△ABF中,42+(4﹣a)2=(4+a)2,解得a=1,
∴BC=1,BF=3,設BE=b,則DE=b﹣3,CE=4﹣(b﹣3)=7﹣b.
在Rt△BCE中,12+(7﹣b)2=b2,解得b=,
∴BG=BE=,
∴S△ABE=S△ABG=××4=.
解法二:如圖取CD的中點F,連接BF延長BF交AD的延長線於G,作FH⊥AB於H,EK⊥AB於K.作BT⊥AD於T.
∵BC∥AG,[來源:Z§xx§]
∴∠BCF=∠FDG,
∵∠BFC=∠DFG,FC=DF,
∴△BCF≌△GDF,
∴BC=DG,BF=FG,
∵AB=BC+AD,AG=AD+DG=AD+BC,
∴AB=AG,∵BF=FG,
∴BF⊥AF,∠ABF=∠G=∠CBF,
∵FH⊥BA,FC⊥BC,
∴FH=FC,易*△FBC≌△FBH,△FAH≌△FAD,
∴BC=BH,AD=AH,
由題意AD=DC=4,設BC=TD=BH=x,
在Rt△ABT中,∵AB2=BT2+AT2,
∴(x+4)2=42+(4﹣x)2,
∴x=1,
∴BC=BH=TD=1,AB=5,
設AK=EK=y,DE=z,
∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2,BE2=BK2+KE2=BC2+EC2,
∴42+z2=2y2①,
(5﹣y)2+y2=12+(4﹣z)2②
由②得到25﹣10y+2y2=17﹣8z+z2③,
①代入③可得z=④
④代入①可得y=(負根已經捨棄),
∴S△ABE=×5×=,
故選D.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:選擇題