問題詳情：
如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象經過點A（0，3）、B（1，0），其對稱軸爲直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線於點C，∠AOB的平分線交線段AC於點E，點P是拋物線上的一個動點，設其橫座標爲m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結PE、PO，當m爲何值時，四邊形AOPE面積最大，並求出其最大值；
（3）如圖②，F是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成爲以點P爲直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的座標；若不存在，請說明理由．
【回答】
解：（1）如圖1，設拋物線與x軸的另一個交點爲D，
由對稱*得：D（3，0），
設拋物線的解析式爲：y=a（x﹣1）（x﹣3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴拋物線的解析式；y=x2﹣4x+3；
（2）如圖2，設P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式爲：y=x，
過P作PG∥y軸，交OE於點G，
∴G（m，m），
∴PG=m﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+5m﹣3，
∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，
=
×3×3+
PG•AE，
=
+
×3×（﹣m2+5m﹣3），
=﹣
+
，
=﹣
（m﹣
）2+
，
∵﹣
＜0，
∴當m=
時，S有最大值是
；
（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸於M，交l於N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
則﹣m2+4m﹣3=2﹣m，
解得：m=
或
，
∴P的座標爲（
，
）或（
，
）；
如圖4，過P作MN⊥x軸於N，過F作FM⊥MN於M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
則﹣m2+4m﹣3=m﹣2，
解得：x=
或
；
P的座標爲（
，
）或（
，
）；
綜上所述，點P的座標是：
（
，
）或（
，
）或（
，
）或（
，
）．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
