問題詳情：
已知函數
．
（1）當a =1時，求
在
時的最小值；
（2）若
存在單調遞減區間，求a的取值範圍；
（3）求*：
．
【回答】
解：（1）
的定義域爲
．
∵
，
∴
在
上是增函數．
當
時，
的最小值爲
；（3分）
（2）∵
∵若
存在單調遞減區間，
∴
有正數解．即
有
的解．（5分）
①當
時，明顯成立．
②當
時，
爲開口向下的拋物線，故
總有
的解；
③當
時，
爲開口向上的拋物線，
故方程
必須有正根
∵
，∴方程
有兩正根
∴
，解得
．
綜合①②③知：
．（9分）
（3）（法一）根據（1）的結論，當
時，
，即
令
，則有
∴
．（12分）
（法二）①當n=1時，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8>1，∴
，即n=1時命題成立．
②設當n=k
時，命題成立，即
．
∴當n=k+1時，
根據（1）的結論，當
時，
，即
．
令
，則有
，
則有
，即n=k+1時命題也成立．
因此，由數學歸納法可知不等式成立．（12分）
點評：本題考查利用導數研究函數的單調*及數學歸納法，難點之一在於（2）中透過求
後，轉化爲“
有
的解”的問題，再用分類討論思想來解決；難點之二在於（3）中法一透過構造函數
，用放縮法*得結論，法二透過數學歸納法，其中也有構造函數的思想，屬於難題．
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
