問題詳情：
直線
，
與
的平分線交於點C，過點C作一條直線
分別與直線PA，QB相交於點D，E．
（1）如圖（1），當直線l與PA垂直時，求*：
．
（2）如圖（2），當直線l與PA不垂直且點D，E在AB同側時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請*；如果不成立，請說明理由．
（3）當直線l與PA不垂直且點D，E在AB異側時，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請*；如果不成立，請寫出AD，BE，AB之間的數量關係（不用*）．
【回答】
（1）*見解析；（2）成立，*見解析；（3）不成立，
．
【解析】
（1）根據各線段之間的長度，先猜想AD＋BE＝AB；
（2）在AB上截取AG＝AD，連接CG，利用三角形全等的判定定理可判斷出AD＝AG．同理可*BG＝BE，即AD＋BE＝AB；
（3）畫出直線l與直線MA不垂直且交點D、E在AB的異側時的圖形，分兩種情況討論：①當點D在*線AM上、點E在*線BN的反向延長線上時；②點D在*線AM的反向延長線上，點E在*線BN上時；得到AD，BE，AB之間的關係．
【詳解】
（1）如圖，過點C作
於點F．
平分
，BC平分
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，
．
在△
與
中，
，
，
．
同理可得
．
，
；
（2）成立．*：如圖，在AB上截取
，連接CG．
平分
，
．
在
與
中，
，
，
．
，
．
，BC平分
，
，
，
，即
．
，
，
．
在
與
中，
，
，
，
，
；
（3）不成立．當點D在*線AP上，點E在*線BQ的反向延長線上時，如圖（3），
；
延長BC交AM於F，
∵AD∥BN，
∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，
∴AF=AB，
∵∠1=∠2，
∴AC⊥BF，CF=BC，
在△CDF和△CEB
，
∴△CDF≌△CEB（AAS），
∴DF=BE，
∴AD-BE=AD-DF=AF=AB，
∴
；
當點D在*線AP的反向延長線上，點E在*線BQ上時，如圖，
，
∵AC和BC分別爲∠FAB和∠ABE的角平分線，
∴∠FAC=∠BAC，∠ABC=∠EBC，
∵AF∥BE，
∴∠AFC=∠EBC，
∴∠ABC=∠AFC，
在△AFC和△ABC中
，
∴△AFC≌△ABC，
∴AF=AB，FC=BC，
∵AF∥BE，
∴∠AFC=∠EBC，
∴在△DFC和△EBC中
，
∴△DFC≌△EBC，
∴DF=BE，
∴DF-AD=BE-AD=AF=AB，
即
．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和*質，平行線的*質，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
知識點：角
題型：解答題
