問題詳情：
已知橢圓
：
的左、右焦點分別爲
，過點
作垂直於
軸的直線
，直線
垂直
於點
，線段
的垂直平分線交
於點
．
（1）求點
的軌跡
的方程；
（2）過點
作兩條互相垂直的直線
，且分別交橢圓於
，求四邊形
面積的最小值．
【回答】
1）
；（2）
．
試題分析：（1）求得橢圓的焦點座標，連接
，由垂直平分線的*質可得
，運用拋物線的定義，即可得到所求軌跡方程；（2）分類討論：當
或
中的一條與
軸垂直而另一條與
軸重合時，此時四邊形
面積
．當直線
和
的斜率都存在時，不妨設直線
的方程爲
，則直線
的方程爲
．分別與橢圓的方程聯立得到根與係數的關係，利用弦長公式可得
，
．利用四邊形
面積
即可得到關於斜率
的式子，再利用*和二次函數的最值求法，即可得出．
試題解析：解：（1）∵
，∴點
到定直線
：
的距離等於它到定點
的距離，∴點
的軌跡
是以
爲準線，
爲焦點的拋物線．
∴點
的軌跡
的方程爲
．
（2）當直線
的斜率存在且不爲零時，直線
的斜率爲
，
，
，則直線
的斜率爲
，直線
的方程爲
，聯立
，得
．
∴
，
．
．由於直線
的斜率爲
，用
代換上式中的
。可得
．
∵
，∴四邊形
的面積
．
由於
，∴
，當且僅當
，即
時取得等號．
易知，當直線
的斜率不存在或斜率爲零時，四邊形
的面積
．
綜上，四邊形
面積的最小值爲
．
考點：橢圓的簡單*質．
【思路點晴】求得橢圓的焦點座標,由垂直平分線的*質可得
,運用拋物線的定義,即可得所求的軌跡方程．第二問分類討論,當
或
中的一條與
軸垂直而另一條與
軸重合時,四邊形面積爲
．當直線
和
的斜率都存在時,分別設出
的直線方程與橢圓聯立得到根與係數的關係,利用弦長公式求得
,從而利用四邊形的面積公式求最值．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
