問題詳情：
已知過拋物線
的焦點
的直線與拋物線交於
兩點，且
，拋物線的準線與
軸交於
，
於點
，且四邊形
的面積爲
，過
的直線交拋物線於
兩點，且
，點
爲線段
的垂直平分線與
軸的交點，則點
的橫座標
的取值範圍爲（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【回答】
A
【解析】
【分析】
先根據拋物線的*質和四邊形AA1CF的面積爲
，求出p的值，再設M，N的座標，運用向量的座標運算，設直線l：x=my﹣1，並代入到y2=4x中，運用韋達定理，可得m和λ，運用對勾函數的單調*，可得4m2的範圍，求出MN的垂直平分線方程，令y=0，結合不等式的*質，即可得到所求範圍．
【詳解】過B作BB1⊥l於B1，設直線AB與l交點爲D，
由拋物線的*質可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，
設BD=m，BF=n，則
=
=
=
，
即
=
，
∴m=2n．
又
=
，∴
=
=
，∴n=
，
∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，
又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=2
p，CD=
p，
∴A1C=
p，
∴直角梯形AA1CF的面積爲
（2p+p）•
p=6
，
解得p=2，
∴y2=4x，
設M（x1，y1），N（x2，y2），
∵
=λ
，
∴y1=λy2，
設直線l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=4，
∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，
由①②可得4m2=
=λ+
+2，
由1＜λ≤2可得y=λ+
+2遞增，即有4m2∈（4，
]，即m2∈（1，
]，
又MN中點（2m2﹣1，2m），
∴直線MN的垂直平分線的方程爲y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），
令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，
]，
故選：A．
【點睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯繫起來，那麼用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優先考慮利用拋物線的定義轉化爲點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：選擇題
