問題詳情：
已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．點P從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度爲1cm/s；同時，點Q從點D出發，沿DC方向勻速運動，速度爲1cm/s；當一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點P作PE⊥AB，交BC於點E，過點Q作QF∥AC，分別交AD，OD於點F，G．連接OP，EG．設運動時間爲t（s）（0＜t＜5），解答下列問題：
（1）當t爲何值時，點E在∠BAC的平分線上？
（2）設四邊形PEGO的面積爲S（cm2），求S與t的函數關係式；
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形PEGO的面積最大？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）連接OE，OQ，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【回答】
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝
＝6（cm），
∵OD垂直平分線段AC，
∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCO，
∵∠DOC＝∠ACB，
∴△DOC∽△BCA，
∴
＝
＝
，
∴
＝
＝
，
∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），
∵PB＝t，PE⊥AB，
易知：PE＝
t，BE＝
t，
當點E在∠BAC的平分線上時，
∵EP⊥AB，EC⊥AC，
∴PE＝EC，
∴
t＝8﹣
t，
∴t＝4．
∴當t爲4秒時，點E在∠BAC的平分線上．
（2）如圖，連接OE，PC．
S四邊形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）
＝
•（4﹣
t）•3+[
•3•（8﹣
t）+
•（8﹣
t）•
t﹣
•3•（8﹣
t）
＝﹣
t2+
t+16（0＜t＜5）．
（3）存在．
∵S＝﹣
（t﹣
）2+
（0＜t＜5），
∴t＝
時，四邊形OPEG的面積最大，最大值爲
．
（4）存在．如圖，連接OQ．
∵OE⊥OQ，
∴∠EOC+∠QOC＝90°，
∵∠QOC+∠QOG＝90°，
∴∠EOC＝∠QOG，
∴tan∠EOC＝tan∠QOG，
∴
＝
，
∴
＝
，
整理得：5t2﹣66t+160＝0，
解得t＝
或10（捨棄）
∴當t＝
秒時，OE⊥OQ．
知識點：各地中考
題型：綜合題
