問題詳情:
已知關於x的函數與在區間D上恆有.
(1)若,求h(x)的表達式;
(2)若,求k的取值範圍;
(3)若求*:.
【回答】
(1);(2);(3)*詳見解析
【解析】
【分析】
(1)求得與的公共點,並求得過該點的公切線方程,由此求得的表達式.
(2)先由,求得的一個取值範圍,再由,求得的另一個取值範圍,從而求得的取值範圍.
(3)先由,求得的取值範圍,由方程的兩個根,求得的表達式,利用導數*得不等式成立.
【詳解】(1)由題設有對任意的恆成立.
令,則,所以.
因此即對任意的恆成立,
所以,因此.
故.
(2)令,.
又.
若,則在上遞增,在上遞減,則,即,不符合題意.
當時,,符合題意.
當時, 在上遞減,在上遞增,則,
即,符合題意.
綜上所述,.
由
當,即時,在爲增函數,
因爲,
故存在,使,不符合題意.
當,即時,,符合題意.
當,即時,則需,解得.
綜上所述,的取值範圍是.
(3)因爲對任意恆成立,
對任意恆成立,
等價於對任意恆成立.
故對任意恆成立
令,
當,,
此時,
當,,
但對任意的恆成立.
等價於對任意的恆成立.
的兩根爲,
則,
所以.
令,則.
構造函數,,
所以時,,遞減,.
所以,即.
【點睛】本小題主要考查利用的導數求切線方程,考查利用導數研究不等式恆成立問題,考查利用導數*不等式,考查分類討論的數學思想方法,屬於難題.
知識點:高考試題
題型:綜合題