問題詳情：
如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.
（Ⅰ）求*：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的餘弦值.
【回答】
*：（Ⅰ）由AB是圓的直徑，得
，
由
平面ABC，
平面ABC，得
．
又
，
平面PAC，
平面PAC，
所以
平面PAC．
因爲
平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC……………………………………………6分
（Ⅱ）
解法一：過C作CM//AP，則CM⊥平面ABC．
如圖（1），以點C爲座標原點，分別
以直線CB，CA，CM爲x軸，y軸，z
軸建立空間直角座標系．
|
所以
． 又因爲PA=1，所以A（0，1， 0），B（
，0，0），P（0，1，1）．
故
．
設平面BCP的法向量爲
，
則
所以
不妨令
，則
．
因爲
設平面ABP的法向量爲
，
則
所以
不妨令
，則
．
於是
．
由圖（1）知二面角C-PB-A爲銳角， 故二面角C-PB-A的餘弦值爲
…………………………12分
（Ⅱ）解法二：如圖（2），過C作CM⊥AB於M，
因爲PA⊥平面ABC，
平面ABC，
所以PA⊥CM．
又因爲
，且
平面PAB，
平面PAB，
所以CM⊥平面PAB．
過M作MN⊥PB於N，連接NC，
由三垂線定理得CN⊥PB，
所以∠CNM爲二面角C-PB-A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，
|
，
，
．在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得
．
因爲Rt△BNM∽Rt△BAP，
所以
，所以
所以在Rt△CNM中，
，
所以
，
所以故二面角C-PB-A的餘弦值爲
…………………………12分
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
