問題詳情：
如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A、B外的一個動點，DC垂直於半圓O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=
．
（1）*：平面ADE⊥平面ACD；
（2）當三棱錐C﹣ADE體積最大時，求二面角D﹣AE﹣B的餘弦值．
【回答】
【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知條件推匯出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此*DE⊥平面ACD，從而得到平面ADE⊥平面ACD．
（Ⅱ）依題意推匯出當且僅當
時三棱錐C﹣ADE體積最大，建立空間直角座標系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的餘弦值．
【解答】（Ⅰ）*：∵AB是直徑，∴BC⊥AC…（1分），
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），
∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）
∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四邊形，BC∥DE，
∴DE⊥平面ACD…，
∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…
（Ⅱ）依題意，
…，
由（Ⅰ）知
=
=
，
當且僅當
時等號成立 …（8分）
如圖所示，建立空間直角座標系，
則D（0，0，1），
，
，
∴
，
，
，
…（9分）
設面DAE的法向量爲
，
，即
，∴
，…（10分）
設面ABE的法向量爲
，
，即
，∴
，
∴
…（12分）
∵
與二面角D﹣AE﹣B的平面角互補，
∴二面角D﹣AE﹣B的餘弦值爲
． …（13分）
【點評】本題考查平面與平面垂直的*，考查二面角的餘弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
知識點：空間幾何體
題型：解答題
