問題詳情:
我國古代數學典籍《九章算術》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿牆問題:有厚牆尺,兩隻老鼠從牆的兩邊相對分別打洞穿牆大老鼠第一天進一尺,以後每天加倍;小老鼠第一天也進一尺,以後每天減半.問兩天後,兩鼠間距_______尺,兩鼠相遇時,大鼠共穿了______尺牆.
【回答】
【分析】
設大、小老鼠進牆尺數分別爲等比數列、,公比分別爲、,根據題意得出兩個等比數列的首項和公比,可計算出兩天後兩鼠之間的間距,根據兩鼠掘牆速度比可計算出當兩鼠相遇時,大鼠掘牆的尺寸.
【詳解】
設大、小老鼠進牆尺數分別爲等比數列、,公比分別爲、,
則,,,
兩天後兩鼠間距爲.
由條件知大老鼠前三天分別挖、、尺,小老鼠前三天分別挖、、尺,
當兩鼠相遇時,必在第三天.而這天兩鼠掘牆速度比爲,
又第三天只需穿牆尺,則大老鼠需穿牆尺,
此時,大老鼠共穿尺.
故*爲:;.
【點睛】
本題考查數學文化及等比數列的通項公式與求和,將實際問題轉化爲數列問題是解答的關鍵,考查計算能力,屬於中等題.
知識點:空間幾何體
題型:填空題