問題詳情:
已知函數.
(Ⅰ)求曲線的斜率爲1的切線方程;
(Ⅱ)當時,求*:;
(Ⅲ)設,記在區間上的最大值爲M(a),當M(a)最小時,求a的值.
【回答】
(Ⅰ)和.
(Ⅱ)見解析;
(Ⅲ).
【分析】
(Ⅰ)首先求解導函數,然後利用導函數求得切點的橫座標,據此求得切點座標即可確定切線方程;
(Ⅱ)由題意分別*得和即可*得題中的結論;
(Ⅲ)由題意結合(Ⅱ)中的結論分類討論即可求得a的值.
【詳解】
(Ⅰ),令得或者.
當時,,此時切線方程爲,即;
當時,,此時切線方程爲,即;
綜上可得所求切線方程爲和.
(Ⅱ)設,,令得或者,所以當時,,爲增函數;當時,,爲減函數;當時,,爲增函數;
而,所以,即;
同理令,可求其最小值爲,所以,即,綜上可得.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
所以是中的較大者,
若,即時,;
若,即時,;
所以當最小時,,此時.
【點睛】
本題主要考查利用導函數研究函數的切線方程,利用導函數*不等式的方法,分類討論的數學思想等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
知識點:導數及其應用
題型:解答題