問題詳情：
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點F(
,0),點M(-
,)在橢圓
C上.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)直線l過點F,且與橢圓C交於A,B兩點,過原點O作直線l的垂線,垂足爲P,如果△OAB的面積爲
(λ爲實數),求λ的值.
【回答】
解:(1)由題意知c=
.
根據橢圓的定義得2a=
+,
即a=2.
所以b2=4-3=1.
所以橢圓C的標準方程爲+y2=1.
(2)由題意知△ABO的面積S△ABO=|AB|·|OP|=
,
整理得λ=|OP|2-
.
①當直線l的斜率不存在時,l的方程是x=
.
此時|AB|=1,|OP|=
,
所以λ=|OP|2-=-1.
②當直線l的斜率存在時,設直線l的方程是y=k(x-),
設A(x1,y1),B(x2,y2),
由
可得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0,
顯然Δ>0,
則
因爲y1=k(x1-),y2=k(x2-),
所以|AB|=
=
=
=
.
所以|OP|2=(
)2=
,
此時,λ=
-
=-1.
綜上所述,λ的值爲-1.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
