問題詳情：
記焦點在同一條軸上且離心率相同的橢圓爲“相似橢圓”.已知橢圓
，以橢圓
的焦點爲頂點作相似橢圓
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程；
(Ⅱ)設直線
與橢圓
交於
兩點，且與橢圓
僅有一個公共點，試判斷
的面積是否爲定值(
爲座標原點)？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【回答】
【解析】
分析：(Ⅰ)由相似橢圓的定義可得，橢圓
的離心率
，由長軸的頂點爲(-2，0)，(2，0)，於是可得
，從而可得橢圓
的方程；(Ⅱ)設直線
.
由
得，
，利用判別式爲零可得
，聯立
與
，利用韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式以及三角形面積公式可得
.
詳解：(Ⅰ)由條件知，橢圓
的離心率
，且長軸的頂點爲(-2，0)，(2，0)，
∴橢圓
的方程爲
.
(Ⅱ)當直線
的斜率存在時，設直線
.
由
得，
.
令
得，
.
聯立
與
，化簡得
.
設A(
)，B(
)，則
∴
，而原點O到直線
的距離
∴
.
當直線
的斜率不存在時，
或
，則
，原點O到直線
的距離
，
∴
.
綜上所述，
的面積爲定值6.
點睛：本題主要考查橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及橢圓的切線，屬於難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再*這個值與變量無關；② 直接推理、計算，並在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
